极值点偏移四种题型的解法
2024-04-20 09:53:10
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1、极值点偏移。函数f(x)在x=x0处取得极值,且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x1,b),B(x2,b)两点,则AB的中点为M(,b),那么极值点x0与x1,x2存在什么关系呢?有时候x0=,如开口向上的抛物线。而大多数情况下由于极值点两边增减的速度不一样,往往x0≠。
2、分不含参数的问题。函数f(x)=xe-x(x∈R),如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2>2。由f(x1)=f(x2),x1≠x2,不妨设x12,即证:x2>2-x1,因为x11,所以x2,2-x1∈(1,+∞);又f(x)在(1,+∞)递减,故而只需证明f(x2)F(x),即f(x)-f(2-x)2。
3、含参数的问题。 已知函数f(x)=x-aex有两个不同的零点x1,x2,求证:x1+x2>2。函数f(x)的两个零点等价于方程xe-x=a的两个实根,令g(x)=xe-x,依题意:g(x1)=g(x2)=a,从而这一问题与例1完全等价。按照例1的思路,可得x1+x2>2。
4、变量分离后再构造函数。函数f(x)=x-aex有两个不同的零点x1,x2,求证:x1+x2>2。解析:函数f(x)的两个零点等价于方程xe-x=a的两个实根,令g(x)=xe-x,依题意:g(x1)=g(x2)=a,从而这一问题与例1完全等价。可得x1+x2>2。
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