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证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

2024-05-12 00:32:24

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证法1:

ΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分线n交BC于D

∴ AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)

以DB为半径,D为圆心画弧,与BC在D的另一侧交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D (等边对等角)

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°(三角形内角和定理)

∴∠BAD+∠C’AD=90° 即:∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C与C’重合(也可用垂直公理证明 :假使C与C’不重合 由于CA⊥AB,C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合)

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理。

证法2:

ΔABC是直角三角形,AD是BC上的中线,作AB的中点E,连接DE

∴BD=CB/2,DE是ΔABC的中位线

∴DE‖AC(三角形的中位线平行于第三边)

∴∠DEB=∠CAB=90°(两直线平行,同位角相等)

∴DE⊥AB

∴E是AB的垂直平分线

∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)

∴AD=CB/2

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