判断级数敛散性的方法

1、先判断这是正项级数还是交错级数；

2、判定正项级数的敛散性：先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）。若不趋于零,则级数发散；若趋于零,则再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数,则用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等；

3、判定交错级数的敛散性：利用莱布尼茨判别法进行分析判定；利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定；一般情况下,若级数发散,级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散,则级数必发散；有时可把级数通项拆分成两个,利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定；

4、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。若级数幂次是按x的自然数顺序递增,则其收敛半径由或求出,进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域；对于缺项幂级数或x的函数的幂级数,可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数,再求收敛半径；

5、求幂级数的和函数与数项级数的和：求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式,再求和；求数项级数的和,可利用定义求出部分和,再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值；

6、将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数,这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算,然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系。