方阵的幂是什么
2024-09-09 19:45:46
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1、如果你所要求的是一般矩阵的高次幂的话,是没有捷径可走的,只能够一个个去乘出来。至于低次幂,如果能够相似对角化,即:存在简便算法的话,在二阶矩阵的情况下简便算法未必有直接乘来得快,所以推荐直接乘。
2、如果你要求的是能够相似对角化的矩阵的高次幂的话,是存在简便算法的。设要求矩阵A的n次幂,且A=Q^(-1)*Λ*Q,其中Q为可逆阵,Λ为对角阵。即:A可以相似对角化。那么此时,有求幂公式:A^n=Q^(-1)*(Λ)^n*Q,而对角阵求n次方,只需要每个对角元素变为n次方即可,这样就可以快速求出二阶矩阵A的的高次幂。
3、如果矩阵可以相似对角化,求相似对角化的矩阵Q的具体步骤为:求|λE-A|=0(其中E为单位阵)的解,得λ1和λ2(不管是否重根),这就是Λ矩阵的对角元素。依次把λ1和λ2带入方程(如果λ是重根只需代一次,就可求得两个基础解)[λE-A][x]=[0],求得两个解向量[x1]、[x2],从而矩阵Q的形式就是[x1x2]。
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